原則的には口頭での労働契約は違法です。
ただ、このケースのように全日制の雇用ではない場合には口頭での契約が可能です。（労働契約法69条）

一般的に平均労働時間が一日4時間・週に24時間を越えない場合には、口頭での労働契約が可能とされていますが、同時に労働関係の解除は随時可能です。
このような時間単位の勤務の場合、複数の雇用先との労働関係を持ってもかまわないとされています。